Maak getalgrootte voelbaar

geometry-1044090 (1)Getallen spelen een belangrijke rol in ons dagelijks leven. Het is daarom erg belangrijk om goed te begrijpen waar het bij getallen om gaat en hoe we deze in het basisonderwijs aanleren. Inzicht in hoe het menselijk brein getallen verwerkt, kan helpen bij het begrijpen van leerlingen en hun leerproblemen. Inmiddels is het mogelijk om mogelijke oplossingen af te leiden. In vervolgonderzoek moeten deze oplossingen hun effectiviteit echter nog bewijzen.

Eerst staan we stil bij wat een getal is. Getallen zoals wij ze gebruiken, kunnen we opsplitsen in verschillende onderdelen. Het misschien wel meest invloedrijke model van hoe het menselijk brein informatie over getallen verwerkt, is het triple-code model (Dehaene & Cohen, 1995). Dit model maakt een onderscheid tussen drie representaties (zie ook figuur 1):
• Een symbolische representatie, ofwel een representatie van de visuele symbolen die gebruikt worden voor getallen. Denk hierbij bijvoorbeeld aan het symbool, het cijfer ‘7’ of ‘VII’. Dit symbool bevindt zich waarschijnlijk in het visuele systeem van de hersenen.
• Een verbale representatie geeft ons de mogelijkheid om getallen te benoemen. Wij zeggen bijvoorbeeld ‘zeven’, we tellen en halen rekenkundige feiten op uit ons geheugen. Bijvoorbeeld bij de bewerking die we allemaal kennen, zoals 7 x 7 = 49. Dit gebeurt waarschijnlijk in taalgebieden in de linkerhersenhelft, zoals the zogenaamde ‘gyrus temporalis’ en de ‘gyrus angularis’.
• Een representatie van grootte. Dit is de basis van ons begrip van hoeveelheid en stelt ons in staat de grootte af te leiden. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de vraag: hoeveel is ‘7’? Wat moet ik me voorstellen bij ‘zeven’? Het gaat ook over het vergelijken van getallen. Wij weten dat 14 meer is dan 7 en kunnen aangeven waarom dit zo is. Dit ‘getalbegrip’ bevindt zich waarschijnlijk in de pariëtale kwabben van de hersenen, zoals de zogenaamde ‘intrapariëtale sulcus’.

In de rest van het artikel gaan we verder in op de laatstgenoemde representatie, de representatie van grootte, waar momenteel meerdere theorieën over bestaan.

Figuur 1
Figuur 1 – De neuronale representaties van een getal (Dehaene & Cohen, 1995).

De mentale getallenlijn
De meest bekende theorie over getallen is bijna een halve eeuw geleden geformuleerd. Deze theorie zegt dat wij ons de grootte van getallen ruimtelijk voorstellen langs een ‘mentale getallenlijn’. In ons hoofd zit als het ware een getallenlijn. In deze denkbeeldige lijn staan kleine getallen links en grote getallen rechts (Restle, 1970). Enkele jaren later werd dit idee onderbouwd met een test waarbij mensen moesten reageren op een getal door het indrukken van knoppen met de linker- of rechterhand. Het bleek dat ze met de rechterhand sneller reageerden als het een groot getal was en sneller met de linkerhand als het een klein getal was (Dehaene et al., 1993). Nog meer bewijs voor deze theorie zien we bij mensen met een hersenbeschadiging. We zien dat bij beschadiging van gebieden in de hersenen die we gebruiken voor ruimtelijke taken ook het verwerken van informatie over getalbegrip word beïnvloedt (Zorzi et al., 2002). Het idee dat mensen getallen intern op een mentale getallenlijn representeren heeft er waarschijnlijk voor gezorgd dat de werkelijke getallenlijn word gebruikt in het onderwijs.

Een theorie over algemene grootte
Een meer recente theorie is dat getalmatige grootte in de hersenen wordt verwerkt door hetzelfde systeem als waar ook andere begrippen van ‘grootte’ worden verwerkt. Denk maar eens aan de fysieke grootte van voorwerpen. Een voorwerp dat groot of klein is. Maar denk ook aan tijdsduur, een gebeurtenis die korter of langer duurt (Walsh, 2014). Dertig jaar geleden werd al voor het eerst een wisselwerking aangetoond tussen de verwerking van de waarde van een getal en de verwerking van de fysieke grootte van een cijfer. Denk hierbij aan een groot geschreven ‘7’ en een kleiner geschreven ‘3’. Mensen reageren sneller op een fysiek groot cijfer als de getalwaarde ook groot is (Henik & Tzelgov, 1982). Sindsdien is aangetoond dat getallen met vele andere grootheden in wisselwerking staan, zoals tijdsduur, visuele helderheid en de grootte van handopening tijdens het grijpen van een voorwerp (Walsh, 2014). Het lijkt er dus op dat de bevindingen van al deze neurowetenschappelijke studies aantonen dat het brein gebieden heeft die verschillende grootten gemeenschappelijk verwerken (zie bijvoorbeeld Cohen Kadosh et al., 2005). De neiging om getalgrootte met andere grootten te associëren, verschilt sterk tussen mensen. Mijn eigen onderzoek heeft laten zien dat de mate waarin men getallen met een mentale getallenlijn of met andere grootten associeert, samengaat met verschillen in de anatomie, de bouw van de hersenen (Krause et al., 2014). Verschillende hersenen verwerken getallen dus verschillend.

Het ontwikkelen van getalbegrip
De bovenstaande theorieën hebben iets met elkaar gemeen: het idee dat we iets abstracts als de grootte van een getal in verband brengen met iets dat niet abstract is. We brengen het abstracte in verband met iets dat rechtstreeks waarneembaar is met ons lichaam. Het idee is dat abstracte concepten gebaseerd zijn op ervaringen van ons lichaam in het dagelijks leven. Dit wordt ook wel Embodied Cognition genoemd (Wilson 2002).

Waar moeten we aan denken bij embodied cognition en ons rekenonderwijs? In de literatuur over het leren van getallen gaat het vaak over het ‘op je vingers tellen’. Bij de meeste volwassenen is er een sterke associatie tussen vingers en getallen (zie bijvoorbeeld Lindemann et al., 2011). Het is aangetoond dat de hersengebieden die normaal gezien geassocieerd worden met vingerbewegingen ook geactiveerd zijn tijdens weergave van cijfersymbolen (de ‘7’) en telwoorden (‘zeven’) zoals wij die gebruiken (zie bijvoorbeeld Tschentscher et al, 2012). Bovendien zijn wetenschappers het erover eens dat vingerrepresentaties vooral gunstig zijn voor het leren van verbanden tussen getallen: het is heel duidelijk dat vijf vingers opsteken ‘meer’ is dan één vinger opsteken. (Zie voor een overzicht Moeller & Nuerk, 2012).

Relatie hersenen en leerprestaties
We hebben het gehad over de relatie tussen de verwerking van een getal, de verwerking van de ruimte en andere niet-getalsmatige grootten. Het lijkt erop dat het belang van ons lichaam voor de verwerving van wiskundige vaardigheden verder gaat dan alleen vingerrepresentaties. Ons lichaam is misschien wel op veel meer manieren in te zetten. Twee onderzoeken toonden al aan dat getalbegrip verbetert door het lichaam te gebruiken. Ten eerste de studie waarbij kinderen het resultaat van een vergelijking van getallen hebben aangegeven door naar links of rechts te springen op een dansmat (Fischer et al., 2011) en ten tweede naar het resultaat van een rekenkundig probleem op een werkelijke getallenlijn op de vloer liepen (Link et al., 2013). Buiten hersenonderzoek bestaat ook onderzoek naar de relatie tussen leerprestaties bij rekenen en actief bewegen. Denk hierbij bijvoorbeeld aan het artikel ‘Springend rekenen en taal leren’ dat eerder in JSW verscheen (Barneveld, 2016).

Gebruik van materialen
Wat kunnen we nu concluderen? De cognitieve neurowetenschappen moedigen het gebruik van materialen tijdens de rekenles aan. Denk dan aan een getallenlijn, maar misschien ook wel aan andere vormen die het lichaam inzetten. De gemeenschappelijke verwerking in het brein van numerieke grootte en andere zelfs niet-ruimtelijke grootten toont aan dat niet alleen een getallenlijn, maar ook andere methoden, die het nogal abstracte concept van numerieke grootte lichamelijk waarneembaar kunnen maken, een educatief gunstig effect kunnen hebben. Maak rekenen dus voelbaar. Gedegen onderzoek naar specifieke trainingsprogramma’s is nog weinig gedaan. Wel kunnen de voorbeelden uit de studies van Fisher et al. (2011) en Link et al. (2013), de dansmat en de fysieke getallenlijn, mogelijk goede startpunten zijn voor de ontwikkeling hiervan. Hoe dan ook dient er altijd rekening gehouden te worden met de mogelijkheid dat het succes van de aanpak en de methode nog steeds afhangt van het individuele kind. Als een leerkracht bijvoorbeeld de getallenlijn gebruikt en de leerling lijkt het niet te begrijpen, dan is het wellicht beter om een andere methode bij deze leerling te proberen. Mogelijkheden van moderne technologieën, zoals touchscreens, zouden hier wellicht bij kunnen helpen. In plaats van op een getallenlijn getallen aan te wijzen, zou je bijvoorbeeld getallen of rekenresultaten kunnen aangeven door de grootte te manipuleren met ‘pinch zoom’ gebaren op een tablet of mobiele telefoon, waar een grotere beweging ook resulteert in een groter getal. Het is belangrijk om dit in de toekomst eerst uitgebreid te onderzoeken en specifieke onderwijsmiddelen hiervoor te ontwikkelen.

Dr. Florian Krause is onderzoeker bij Brain Innovation B.V. en Universiteit Maastricht. Dit artikel is uit het Engels vertaald door Linsey Roijendijk en Caroline Benjamins.

Literatuur

• Barneveld, S. (2016). Springend rekenen en taal leren. JSW, 101 (2), 19-21.
• Cohen Kadosh, R., Henik, A., Rubinsten, O., Mohr, H., Dori, H., van De Ven, V., & Linden, D.E.J. (2005). Are numbers special? The comparison systems of the human brain investigated by fMRI. Neuropsychologia, 43 (9), 1238-1248.
• Dehaene, S., Bossini, S., & Giraux, P. (1993). The mental representation of parity and number magnitude. Journal of Experimental Psychology: General, 122 (3), 371-396.
• Dehaene, S., & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical Cognition, 1 (1), 83-120.
• Fischer, U., Moeller, K., Bientzle, M., Cress, U., & Nuerk, H.C. (2011). Sensori-motor spatial training of number magnitude representation. Psychonomic Bulletin & Review, 18 (1), 177-183.
• Henik, A., & Tzelgov, J. (1982). Is three greater than five: the relation between physical and semantic size in comparison tasks. Memory & Cognition, 10 (4), 389-395.
• Krause, F., Lindemann, O., Toni, I., & Bekkering, H. (2014). Different brains process numbers differently: structural bases of individual differences in spatial and non-spatial number representations. Journal of Cognitive Neuroscience, 26 (4), 768-776.
• Lindemann, O., Alipour, a., & Fischer, M.H. (2011). Finger Counting Habits in Middle Eastern and Western Individuals: An Online Survey. Journal of Cross-Cultural Psychology, 42 (4), 566-578.
• Link, T., Moeller, K., Huber, S., Fischer, U., & Nuerk, H.C. (2013). Walk the number line – An embodied training of numerical concepts. Trends in Neuroscience and Education, 2 (2), 74-84.
• Moeller, K., & Nuerk, H.C. (2012). Fingerbasierte Repräsentationen als verkörperlichte Vorläuferfähigkeit mathematischer Kompetenzen: Ein Plädoyer für mehr Dialog zwischen Fachdidaktik und Neuropsychologie. Lernen Und Lernstörungen, 1 (1), 63-71.
• Restle, F. (1970). Speed of adding and comparing numbers. Journal of Experimental Psychology, 83(2, Pt.1), 274–278.
• Tschentscher, N., Hauk, O., Fischer, M.H., & Pulvermüller, F. (2012). You can count on the motor cortex: finger counting habits modulate motor cortex activation evoked by numbers. NeuroImage, 59 (4), 3139-3148.
• Walsh, V. (2014). A Theory of Magnitude Oxford Handbooks Online A Theory of Magnitude: The Parts that Sum to Number, (December), 1-12. http://doi.org/10.1093/oxfordhb/9780199642342.013.64
• Wilson, M. (2002). Six views of embodied cognition. Psychonomic Bulletin & Review, 9 (4), 625-636.
• Wood, G., Willmes, K., Nuerk, H., & Fischer, H. (2008). On the cognitive link between space and number: A meta-analysis of the SNARC effect. Psychology Science Quarterly, 50 (4), 489-525.
• Zorzi, M., Priftis, K., & Umiltà, C. (2002). Neglect disrupts the mental number line. Nature, 417 (May), 138-139.