Praktijk digitaal – Handig rekenen

pp.25-28_Praktijk_JSW april 2017_GaussDe beroemde wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1855) liet op jonge leeftijd zien een enorm gevoel voor getallen te hebben. Zo schijnt hij op driejarige leeftijd een rekenfout in het werk van zijn vader te hebben ontdekt en op jonge leeftijd zijn meester verbaasde door een ontzettend moeilijke som op te lossen. Ga aan de slag met de rekenformule van Gauss.

Over de wiskundige Gauss gaat het verhaal dat hij als kind eens een klinkende oorvijg kreeg van zijn meester. Het ging erom dat de meester op het bord een som tevoorschijn toverde waarvan hij veronderstelde dat de leerlingen lange tijd nodig hadden om deze op te lossen. Een soort zelfstandig werken avant la lettre dus. De meester dacht genoeglijk achterover te kunnen leunen en de krant te kunnen lezen, maar daar kwam niets van, want leerling Gauss stond zeer snel met het goede antwoord bij de tafel van de meester.

Optellen
Om welke opgave ging het nu eigenlijk? De meester stelde de vraag ‘Welk resultaat krijg je als je de eerste 100 gehele getallen optelt?’ Gauss antwoordde: ‘5050.’ In deze bijdrage van Praktijk kijken we naar de vraag hoe je getallen gemakkelijk bij elkaar kunt optellen. Het gaat hierbij om de gehele getallen. Gauss is een mooi uitgangspunt om eens aandacht te besteden aan handig rekenen. We zullen zelfs een heuse formule introduceren die gebruikt wordt om reeksen getallen bij elkaar op te tellen. Leerlingen in de bovenbouw zouden deze wellicht kunnen begrijpen en kunnen toepassen. Maar voordat we gaan uitleggen wat de bedoeling is van deze werkbladen, kijken we eerst kort naar leven en werk van Gauss.

Wie was Gauss?
Gauss was een beroemd wiskundige die reeds op jonge leeftijd liet zien een enorm gevoel voor getallen te hebben. Zo schijnt hij op driejarige leeftijd een rekenfout in het werk van zijn vader te hebben ontdekt. Zijn vader wilde dat Carl Friedrich metselaar zou worden, de wiskunde bleek zijn roeping. Maar naast de wiskunde, waarbinnen hij verschillende stellingen bewees en theorieën ontwikkelde, ontwikkelde hij zich ook in andere wetenschappelijke disciplines. Landmeting, astronomie en magnetisme zijn hiervan voorbeelden. Ook leverde hij een formule om de datum van Pasen te berekenen uit het jaartal. Zoals gezegd telde Gauss in de klas bij zijn meester vliegensvlug een lange reeks getallen bij elkaar op. In zijn uitleg aan de meester liet Gauss zien de volgende oplossingsstrategie te hebben gebruikt: als je het eerste en het laatste getal van de reeks bij elkaar optelt, dan krijg je 1 + 100 = 101. Als je het tweede getal van de reeks en het voorlaatste getal bij elkaar optelt, dan krijg je 2 + 99 = 101. Als je het derde getal uit de reeks optelt bij het op twee na laatste getal, dan krijg je 3 + 98 = 101. Zo kun je precies 100 getalparen maken die bij elkaar opgeteld 101 als antwoord hebben. Hier hoort de som 100 x 101 = 10100 bij. Je hebt echter de getallen uit de reeks twee keer gebruikt. Dit antwoord moet worden gehalveerd: 10100 : 2 = 5050. Hoewel het verhaal mogelijk apocrief is, spreekt het veel mensen tot de verbeelding.

De somformule
De formule die door Gauss is geformuleerd, is afgeleid uit de optelling die hierboven al is toegelicht, maar die formeel als volgt wordt genoteerd:
S = 1 + 2 + … + n – 1 + n
S = n + n – 1 + … + 2 + 1
Dus optellen geeft:
2S = n + 1 + n + 1 + … + n + 1 + n + 1
En dit betekent dus:
2S = n(n + 1)
Dit leidt tot de volgende somformule van Gauss:
Som Gauss

 

Het verhaal over Gauss bevestigt op enigerlei wijze de kennis van getallen die hij op driejarige leeftijd al ten toon spreidde. En het is natuurlijk mooi om te vertellen hoe zo’n ouderwetse schoolfrik in zijn hemd werd gezet door een uitermate slimme leerling.

De werkbladen
Als leerkracht kun je ervoor kiezen om de les te starten met het verhaal over Gauss en hoe deze zijn meester verraste met zijn snelle antwoord. Omdat we niet weten of deze gebeurtenis werkelijk heeft plaatsgevonden, is het verstandig dit er even bij te vermelden. Google is namelijk meedogenloos voor leerkrachten die goede verhalen kennen. Als je vervolgens de som op het bord schrijft en de leerlingen met elkaar laat nadenken over de vraag wat het antwoord is, dan kun je van hieruit een geleide instructie geven over de aanpak van dit probleem. Ook kun je ervoor kiezen om dobbelstenen uit te delen en leerlingen te laten bepalen wat het totaal aantal ogen van de dobbelsteen is. De meeste leerlingen komen hier vlot uit door de volgende som uit te rekenen: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Je legt vervolgens aan de leerlingen uit dat dit gemakkelijker kan. De dobbelsteen laat heel mooi zien dat er telkens twee getallen tegenover elkaar geplaatst zijn die bij elkaar opgeteld 7 zijn. Op deze manier kun je op een simpele manier de somformule uitleggen. De leerlingen kunnen meeschrijven op het kopieerblad, zodat ze bij die uitleg actief bezig zijn. Vervolgens kunnen nog enkele opgaven gemaakt worden waarbij het GRIMM-model wordt gebruikt. De leerkracht controleert of de leerlingen in staat zijn om de opgaven zelfstandig te maken en te doorgronden wat Gauss als jonge leerling zelf had ontdekt.

Brutale leerling?
Een andere mogelijkheid is dat leerlingen zelf ontdekken hoe kleine Gauss dit probleem aanpakte. Via de dobbelstenen komen ze stap voor stap verder, waarbij ze uiteindelijk worden uitgedaagd om met zeer grote getallen aan de slag te gaan en erachter te komen dat dit alleen geldt voor gehele getallen. De werkbladen (op p. 26 en p. 27) kunnen dan worden gebruikt binnen het zelfstandig werken. Nog even terug naar Gauss. Zou hij die draai om zijn oren hebben gekregen, omdat hij zich een brutale leerling toonde of kwam in de oorvijg de frustratie van de leerkracht naar boven, omdat hij in Gauss zijn meerdere moest erkennen? Ik denk het laatste.

Klik hier om de pdf-versie te downloaden van deze Praktijkbijdrage, die is gepubliceerd in JSW april (2017).